能否利用 xG 来预测足球比赛结果？

在本文中，我们将尝试理解什么是预期进球（Expected Goals，xG），如何利用 xG 来预测足球比赛结果，并最终分析由英国西北部兰卡斯特大学的研究人员马克·迪克森（Mark Dixon）与斯图尔特·科尔斯（Stuart Coles）提出的模型。

对于那些希望将体育博彩视为不仅仅是一种娱乐方式的人来说，“期望值（Expected Value，EV）”这一概念早已十分熟悉。

投注有赢有输，而实际结果在很大程度上只是运气的体现。

然而，从长期来看，对期望值的理解可以帮助投注者估计，在更大规模的投注样本中，自己有望获得多少收益。“期望”实际上只是“算术平均值”或“平均数”的另一种说法。

近年来，期望这一概念也进入了足球领域，即所谓的“预期进球（xG）”。

xG 被用作一种表现指标，用于评估球队和球员的表现，其方法是为每次得分机会赋予一个转化为进球的概率。

这一概率是根据历史上相似机会的数据以及进球转化率计算出来的。因此，一次射门机会的 xG 值介于 0 到 1 之间。

此外，一场比赛中所有进攻机会的 xG 总和，将形成整场比赛的 xG，更常见的是形成每支球队的 xG 数据。

理论上，xG 比实际进球数更真实地反映了球队比赛质量，以及一支球队相较于另一支球队的优势程度。

进球本身包含一定程度的运气（统计学家称之为“噪音”）。因此，仅依赖真实比分去预测下一场比赛，可能不如利用 xG 更可靠。

从某种意义上说，实际进球就像博彩中的输赢，而 xG 则类似于期望值（EV）。

如果是这样，那么我们是否能够利用 xG，而非实际进球数，来预测足球比赛结果并实现盈利呢？

进球数与 xG 的比较

数学家、《Soccermatics: Mathematical Adventures in the Beautiful Game》作者大卫·萨姆普特（David Sumpter）对于在预测未来比赛时，进球数与 xG 的相对价值提出了一些重要见解。

他简洁地说明了，为什么仅依靠进球数据来寻找预测信号是困难的。

“从统计学角度来看，足球比赛结果几乎和噪音一样多，而不是信号。这可以直接通过泊松分布（Poisson Distribution）解释。足球进球遵循泊松分布，球队平均每场约打进 1.4 球。在泊松分布中，方差与均值相等，因此标准差为 √1.4，即 1.18。因此，噪音（1.18）仅略低于信号（1.4）。”

相比之下，xG 衡量的是创造机会的质量，因此比实际进球更能体现一支球队在比赛中的真实表现。

通常来说，xG 的噪音更少，而信号更多。

对于实际进球和 xG 而言，随着研究比赛数量的增加，结果中的噪音都会逐渐减少。不过，xG 的下降速度在初期更快。

基于这一点，萨姆普特提出了我们在预测未来比赛时应重点关注的数据类型。

在 1 至 2 场比赛 的样本中，比赛内容本身（match report）往往提供最有价值的信息。

另一方面，当样本达到 15 场以上比赛，或接近半个赛季时，实际进球数据可能已经与 xG 一样可靠。

虽然进球数据中的噪音仍略高，但差距已经非常小。

此外，进球代表的是“真实发生的结果”，而 xG 本质上是一个关于进球概率的模型。如果模型本身存在偏差，那么它的可靠性甚至可能低于真实进球数据。

而介于两者之间的区间，则是 xG 作为预测工具最有趣的领域。

萨姆普特认为，在 3 至 6 场比赛 的样本中，xG 比率（xG ratio）最具参考价值；而在 7 至 15 场比赛 中，将进球数与 xG 进行比较可能更加明智。

在本文中，我构建了一个利用球队最近 6 场比赛 的 xG 预测模型，以评估其是否能够用于在博彩市场中获利。

Dixon-Coles 模型

足球比赛预测领域中，最广为记录的方法之一，是由兰卡斯特大学的马克·迪克森与斯图尔特·科尔斯于 1997 年 在《Journal of Applied Statistics》上发表的方法。

这一方法被称为 Dixon-Coles 模型，其核心思想是：通过比较各支球队的进球数与失球数相对于联赛平均水平的表现，来估计球队的进攻强度与防守强度。

这些数据随后被用于估算球队在下一场比赛中的预期进球数。

接下来我将继续翻译 第二部分（模型机制、图片2之后的内容）。

Dixon-Coles 模型（续）

最后，利用泊松分布（Poisson Distribution）来计算每个具体进球数出现的概率，而球队的预期进球数则作为该分布的均值。Pinnacle 也曾发布文章介绍这一方法论。

在这里，我对该模型进行了调整，用 xG（预期进球）替代实际进球数，并基于球队最近 6 场主场或客场比赛 来计算进攻强度与防守强度。

我的数据集包含 2015/16 至 2019/20 赛季英格兰、法国、德国、意大利和西班牙顶级联赛的比赛数据。

随后，模型预测出的主胜、平局与客胜概率被转换为隐含的公平赔率（fair odds），再与 Pinnacle 的收盘赔率（closing odds）进行比较。

当 Pinnacle 的赔率高于模型计算出的公平赔率时，即被视为存在理论上的“价值投注（value bet）”。

随后，我将这些价值投注与实际比赛结果进行了比较。

下图展示了模型识别出的 7,795 次价值投注机会（总计 18,006 场可能投注机会中的一部分）的收益时间序列。

采用固定投注金额（flat staking）时，其投资回报率（ROI）为 -5.0%。

作为对比，如果对全部 18,006 场比赛结果进行盲目、等额投注，则亏损率为 -4.3%。

考虑到该样本中的平均期望值（EV）高达 38.9%，如果只说这是“表现不佳”，那几乎是极其委婉的说法。

模型的潜在失效

这一模型失败的第一个迹象，或许就隐藏在其平均期望值（EV）本身之中。

在平均赔率达到 4.69 的情况下，超过三分之一的投注机会竟然显示出接近 40% 的平均期望收益，这强烈暗示模型估算出的公平赔率，与 Pinnacle 实际赔率之间存在巨大的偏差。

模型预测 xG 与实际比赛 xG 的相关性图进一步证实了这一点。

其中存在大量噪音（noise）；模型化后的 xG 并不能特别有效地准确预测球队在真实比赛中的 xG。

模型失败的根源可能更加复杂，因为至少存在四种潜在问题。

首先，使用 Dixon-Coles 模型预测足球比分本身，可能存在根本性的局限。

该模型的核心——泊松分布——建立在一个关键假设上：进球彼此独立，即一个进球不会导致另一个进球的产生。

然而，这一假设忽略了球员与球队心理因素的影响。

落后的球队可能会比之前更加积极地争取扳平比分，而在平局状态下的球队也可能更有动力继续进攻争取领先。

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如果情况确实如此，那么“进球是随机发生的”这一观点本身，显然需要重新审视。

Dixon 与 Coles 自己也指出，其原始模型 低估了低比分结果（0-0、1-0、0-1 和 1-1）。

为了验证这一点，我分别将模型预测的 xG 与比赛中的实际 xG 数据按从低到高排序，并构建出如下人工相关图（实线）。

结果非常明显：低 xG 比赛数量少于模型预测，而高 xG 比赛数量则比模型预测更多（虚线）。

Dixon 与 Coles 在进球数据中观察到的问题，似乎同样适用于 xG。

考虑到在大样本条件下，进球数与 xG 之间本就高度相关，这一点并不令人意外。

第二个潜在误差来源，可能在于 xG 模型本身。

在我的数据样本中，实际总进球数相当于模型预测进球数的 97.8%。

虽然这看起来是一个不错的结果，但这一微小差异是否足以影响整个进球预测模型的有效性，仍然难以判断。

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第三个潜在误差来源，则可能来自我选择用于计算 Dixon-Coles 攻防强度的近期比赛数量。

基于本文前面讨论的理由，我选择了 最近 6 场比赛。

然而，更少或更多的比赛样本，也许会带来更好的结果。

这种调整相对容易实施，但需要完全重建整个模型，因此本文不再展开。

此外，这 6 场比赛被赋予了相同权重。

然而 Dixon 与 Coles 认为，较新的比赛应该获得更高权重，并在后续版本中加入了时间加权机制。

我同样可以加入这一功能，但由于过程较为繁琐，因此并未实现。

下一部分我将继续翻译 结论部分（“更具存在主义的问题”、与 Pinnacle 模型的竞争，以及 xG 是否真的能帮助盈利）。