La méthode de Kelly appliquée aux paris sportifs

Combien devriez-vous miser lorsqu'une opportunité de pari semble particulièrement intéressante ?

Toujours 1% de votre bankroll ?

2% ?

Davantage si votre Edge est important ?

Cette question est au cœur du Kelly Criterion, ou critère de Kelly, l'une des méthodes mathématiques les plus connues pour déterminer la taille optimale d'une mise.

Contrairement au Flat Betting, où chaque pari reçoit généralement la même unité, la méthode de Kelly adapte le Stake* (* = Mise) en fonction de deux éléments essentiels :

la cote disponible

et :

l'Edge estimé du parieur.

En théorie, plus votre avantage est important, plus la fraction de bankroll à miser peut être élevée.

Mais cette méthode possède une difficulté majeure.

Pour utiliser correctement Kelly, il faut être capable d'estimer avec suffisamment de précision :

la probabilité réelle qu'un événement se produise.

Or, dans les paris sportifs, cette probabilité n'est jamais connue avec certitude.

C'est précisément ce qui rend le Kelly Criterion à la fois extrêmement intéressant et potentiellement dangereux lorsqu'il est mal utilisé.

Comme dans les articles précédents de cette série, nous utiliserons comme référence :

Bankroll initiale : 5 000 €

1U = 50 €

soit :

1% de la bankroll initiale

Qu'est-ce que le Kelly Criterion ?

Le Kelly Criterion est une méthode mathématique permettant de déterminer quelle proportion de son capital devrait être engagée lorsqu'on pense disposer d'un avantage statistique.

Son objectif n'est pas simplement de maximiser le gain attendu sur le prochain pari.

Son objectif est de chercher à :

maximiser la croissance logarithmique du capital sur le long terme.

Autrement dit, Kelly cherche un compromis entre deux éléments :

exploiter suffisamment son Edge

et :

éviter de risquer une part excessive de son capital.

Si l'Edge estimé est faible, Kelly recommande une petite mise.

Si l'Edge estimé est important, Kelly peut recommander une mise plus élevée.

Et si aucun Edge positif n'est identifié :

Kelly recommande de ne pas parier.

D'où vient la méthode de Kelly ?

Le critère de Kelly doit son nom à John L. Kelly Jr., chercheur aux Bell Labs.

En 1956, il publie un article intitulé A New Interpretation of Information Rate.

Son travail ne portait pas initialement sur les paris sportifs.

Le principe concernait la croissance optimale d'un capital dans des situations répétées comportant une incertitude.

Le concept a ensuite été appliqué à différents domaines, notamment :

• les jeux ;
• les paris ;
• l'investissement ;
• la gestion de portefeuille.

Aujourd'hui, le Kelly Criterion est particulièrement connu dans les milieux quantitatifs et chez les parieurs qui cherchent à relier mathématiquement leur Stake à leur Edge.

Quelle est la formule de Kelly ?

Dans sa forme classique pour un pari simple :

f = (bp - q) / b*

avec :

f* = fraction de la bankroll à miser

b = gain net correspondant à la cote décimale moins 1

p = probabilité estimée de gagner

q = probabilité de perdre, soit 1 - p

Prenons un exemple.

Vous estimez qu'une équipe possède :

55% de probabilité de gagner

La cote disponible est :

2,00

Nous avons donc :

b = 2,00 - 1 = 1

p = 0,55

q = 0,45

La formule devient :

f = (1 × 0,55 - 0,45) / 1*

soit :

f = 0,10*

Kelly recommande donc théoriquement de miser :

10% de la bankroll.

Avec une bankroll de 5 000 € :

Stake Kelly = 500 €

C'est considérablement plus que notre référence habituelle de :

1U = 50 €

Pourquoi Kelly recommande-t-il 10% dans cet exemple ?

Parce que si votre estimation de 55% est parfaitement correcte, une cote de 2,00 représente un avantage important.

La probabilité implicite brute d'une cote de 2,00 est :

50%

Votre estimation est :

55%

Vous pensez donc posséder un avantage de 5 points de probabilité.

L'Expected Value du pari est :

(0,55 × 2,00) - 1 = +0,10

soit :

+10% d'EV

Si cette estimation est réellement correcte et reproductible, Kelly considère que cet avantage justifie une exposition relativement importante.

Mais tout le problème se trouve dans cette phrase :

si cette estimation est réellement correcte.

Le Kelly Criterion dépend entièrement de votre estimation de probabilité

Kelly ne connaît pas la véritable probabilité de victoire.

Il utilise celle que vous lui fournissez.

C'est probablement le point le plus important à comprendre.

Supposons toujours une cote de :

2,00

Si vous estimez la probabilité à 55%

Full Kelly :

10%

Si la véritable probabilité n'est que de 53%

Kelly :

6%

Si elle est de 51%

Kelly :

2%

Si elle est de 50%

Kelly :

0%

Si elle est de 49%

Le Kelly devient négatif.

Cela signifie :

aucun pari.

Quelques points de pourcentage dans votre estimation peuvent donc complètement modifier le Stake recommandé.

L'erreur d'estimation est le principal danger de Kelly

Imaginons que votre modèle estime :

55%

et que vous appliquiez Full Kelly.

Vous misez donc :

10% de votre bankroll.

Mais supposons que votre modèle surestime légèrement la qualité du pari et que la véritable probabilité soit :

51%

Votre Stake théoriquement adapté à cette probabilité serait seulement :

2%

Vous avez donc misé cinq fois plus que ce qu'aurait indiqué Kelly avec la véritable probabilité.

Et si la probabilité réelle était :

49%

vous n'aviez même pas d'Edge positif.

Vous avez alors engagé 10% de votre bankroll sur un pari dont l'Expected Value était en réalité négative.

C'est pourquoi Kelly ne doit jamais être considéré comme une formule magique.

La qualité de son résultat dépend directement de la qualité de son input.

Kelly ne crée pas d'Edge

C'est une distinction fondamentale.

Le Kelly Criterion ne permet pas de trouver des Value Bets.

Il ne détermine pas la probabilité réelle d'un événement.

Il répond uniquement à la question :

"Si mon estimation de probabilité est correcte, quelle fraction de ma bankroll devrais-je théoriquement engager ?"

L'Edge doit donc exister avant d'utiliser Kelly.

Une mauvaise stratégie accompagnée d'un excellent système de Stake Sizing reste une mauvaise stratégie.

Kelly peut optimiser l'exploitation d'un avantage.

Il ne peut pas créer cet avantage.

Exemple avec notre bankroll de 5 000 €

Prenons plusieurs paris à la cote :

2,00

avec différentes probabilités estimées.

Ce tableau montre immédiatement une caractéristique importante de Kelly :

le Stake augmente rapidement lorsque l'Edge estimé augmente.

Mais cela signifie également que toute surestimation de l'Edge peut conduire à un Stake beaucoup trop élevé.

Kelly et Flat Betting : deux philosophies différentes

Le Flat Betting consiste généralement à utiliser la même unité sur chaque sélection.

Par exemple :

1U = 50 €

Que votre Edge estimé soit faible ou important, votre Stake reste identique.

Kelly fonctionne différemment.

Il cherche à adapter la taille du pari à l'avantage estimé.

Flat Betting

Avantages :

• simple ;
• transparent ;
• facile à suivre ;
• limite les erreurs de Stake Sizing ;
• facilite la comparaison des performances ;
• réduit l'impact des erreurs d'estimation de l'Edge.

Inconvénient :

• ne distingue pas les opportunités selon leur Edge estimé.

Kelly Criterion

Avantages :

• adapte le Stake à l'Edge ;
• possède une logique mathématique de croissance du capital ;
• réduit la mise lorsque l'avantage est faible ;
• recommande de ne pas parier lorsque l'Edge est nul ou négatif.

Inconvénient majeur :

• dépend fortement de la précision des probabilités estimées.

Les deux approches répondent donc à des objectifs différents.

Full Kelly : pourquoi cette approche peut être très agressive

Full Kelly signifie que l'on applique directement la fraction recommandée par la formule.

Si Kelly indique :

8%

on mise :

8% de la bankroll.

Si Kelly indique :

12%

on mise :

12%.

Mathématiquement, cette approche peut avoir du sens lorsque les probabilités utilisées sont parfaitement connues.

Mais dans les paris sportifs, elles ne le sont pratiquement jamais.

Une Stake de :

10%

signifie qu'une série de quelques mauvais résultats peut provoquer une variation très importante de la bankroll.

Même avec un véritable Edge positif, la volatilité peut devenir psychologiquement et financièrement difficile à supporter.

Qu'est-ce que le Half Kelly ?

Une solution consiste à utiliser seulement une fraction du Stake calculé par Kelly.

Le Half Kelly consiste à miser :

50% du Full Kelly.

Si Full Kelly recommande :

10%

Half Kelly recommande :

5%

Avec une bankroll de 5 000 € :

Full Kelly :

500 €

Half Kelly :

250 €

L'objectif est de conserver une partie de la logique de Kelly tout en réduisant :

• la volatilité ;
• le Drawdown ;
• l'impact des erreurs d'estimation ;
• le Risk of Ruin.

Qu'est-ce que le Quarter Kelly ?

Le Quarter Kelly utilise :

25% du Stake Full Kelly.

Si Full Kelly indique :

10%

Quarter Kelly devient :

2,5%

Avec 5 000 € :

125 €

Nous pouvons donc comparer :

Fractionner Kelly permet donc de réduire considérablement l'exposition.

Pourquoi utiliser une fraction de Kelly ?

Le principal argument est l'incertitude.

Dans un problème théorique où la probabilité réelle est parfaitement connue, Full Kelly possède des propriétés mathématiques particulièrement intéressantes.

Mais dans les paris sportifs :

p est estimé.

Et cette estimation peut être erronée.

Fractionner Kelly permet donc d'introduire une forme de marge de sécurité.

Plus vous êtes incertain sur votre Edge, plus il peut être rationnel d'être prudent sur la fraction de Kelly utilisée.

Kelly est extrêmement sensible à l'Overconfidence

L'Overconfidence, ou excès de confiance, constitue un risque majeur.

Supposons que votre modèle attribue régulièrement des probabilités comme :

57%

61%

64%

Mais si votre modèle est mal calibré, ces probabilités peuvent être trop élevées.

Un événement annoncé à 60% pourrait, dans la réalité, ne se produire que 54% du temps.

Cette différence semble limitée.

Pour Kelly, elle peut être considérable.

Le problème n'est donc pas seulement :

"Mon modèle trouve-t-il des gagnants ?"

Il faut également demander :

"Les probabilités produites par mon modèle sont-elles correctement calibrées ?"

La calibration des probabilités est essentielle

Un modèle bien calibré signifie, de manière simplifiée, que :

parmi les événements auxquels il attribue environ :

60% de probabilité

environ :

60% devraient réellement se produire

sur un échantillon suffisamment important.

Même logique pour :

55%

70%

80%

etc.

Pour utiliser Kelly sérieusement, il ne suffit donc pas de produire un classement ou un signal.

Il faut idéalement produire :

des probabilités suffisamment fiables et calibrées.

C'est une exigence beaucoup plus élevée.

Peut-on utiliser les probabilités implicites du bookmaker avec Kelly ?

Pas directement pour créer un Edge.

Une cote représente une probabilité implicite de marché, mais elle inclut généralement une marge.

Par exemple, une cote de :

2,00

correspond mathématiquement à :

50%

Mais si vous utilisez simplement cette même probabilité pour Kelly :

p = 50%

avec une cote de :

2,00

Kelly recommande :

0%

Ce qui est logique.

Vous n'avez identifié aucun avantage.

Pour utiliser Kelly, il faut donc disposer d'une estimation de probabilité différente et supérieure à celle nécessaire pour justifier la cote disponible.

La marge du bookmaker doit également être prise en compte

Sur un marché à plusieurs issues, additionner les probabilités implicites brutes des différentes cotes donne généralement un résultat supérieur à 100%.

Cette différence représente l'Overround, ou marge théorique du bookmaker.

Avant de comparer votre modèle au marché, il peut donc être utile de calculer des probabilités de marché ajustées de la marge.

Cela permet d'obtenir une meilleure représentation de la probabilité estimée par le marché.

Mais même après cette correction :

la probabilité du marché n'est pas automatiquement la véritable probabilité.

Elle reste un point de référence.

Quel rôle peut jouer Pinnacle dans une approche Kelly ?

Dans une approche quantitative, les cotes d'un bookmaker à faible marge et fortement exposé au marché peuvent constituer un benchmark particulièrement intéressant.

Les Opening Odds permettent d'observer l'état initial du marché.

Les Closing Odds permettent d'observer le prix après l'intégration d'une quantité beaucoup plus importante d'informations et de mises.

Cela ne signifie pas que la Closing Odd représente une probabilité parfaite.

Mais elle constitue un point de comparaison particulièrement utile pour analyser :

• votre prix d'entrée ;
• votre CLV ;
• la qualité de votre estimation ;
• la capacité d'une stratégie à identifier de la Value.

CLV et Kelly peuvent-ils être complémentaires ?

Oui, conceptuellement.

Kelly utilise votre Edge estimé pour déterminer le Stake.

La CLV peut ensuite fournir une information supplémentaire sur la qualité du prix obtenu.

Supposons que votre modèle recommande régulièrement des Stakes importants parce qu'il détecte beaucoup d'Edge.

Mais que ces sélections obtiennent régulièrement une CLV négative.

Cela peut être un signal important.

Votre modèle estime peut-être son Edge de manière trop agressive.

À l'inverse, si les sélections affichent régulièrement une CLV positive, cela peut renforcer l'intérêt d'analyser plus profondément la qualité du processus.

La CLV ne prouve pas à elle seule que votre estimation exacte de probabilité est correcte.

Mais elle peut constituer un indicateur complémentaire.

Kelly et Sample Size

Une stratégie affiche :

ROI +15% après 60 paris.

Peut-on en déduire qu'elle possède un Edge suffisamment important pour utiliser un Kelly agressif ?

Non.

Le Sample Size est trop faible pour tirer une conclusion solide sur l'ampleur exacte de l'Edge.

Le problème est particulièrement important avec Kelly.

Pourquoi ?

Parce que le Stake dépend directement de l'Edge estimé.

Si vous surestimez l'Edge à partir d'un petit échantillon, vous risquez ensuite de surestimer également le Stake.

L'incertitude statistique doit donc être intégrée à la réflexion.

Kelly et Variance

Kelly ne supprime évidemment pas la Variance.

Même avec un calcul parfait, une succession de pertes reste possible.

Supposons que votre modèle identifie correctement une série de Value Bets.

Cela ne signifie pas que les prochaines sélections vont gagner.

Kelly cherche à optimiser la croissance à long terme.

Il ne cherche pas à rendre les résultats à court terme réguliers.

C'est une distinction essentielle.

Kelly et Drawdown

Plus les Stakes sont importants, plus les variations de bankroll peuvent devenir importantes.

Full Kelly peut donc produire des Drawdowns difficiles à supporter.

Même si la stratégie reste théoriquement correcte, un parieur peut abandonner après :

-20%

-30%

ou :

-40%

de Drawdown.

Il existe donc une différence entre :

l'optimalité mathématique

et :

la tolérance réelle au risque.

Une stratégie impossible à suivre psychologiquement n'est pas nécessairement une stratégie adaptée à l'utilisateur.

Kelly et Risk of Ruin

Le Kelly Criterion est directement lié à la gestion du Risk of Ruin.

Avec des probabilités parfaitement connues et dans les hypothèses théoriques appropriées, Kelly cherche à éviter le surbetting tout en maximisant la croissance logarithmique à long terme.

Mais dans le monde réel, le problème central reste :

l'erreur d'estimation.

Si vous pensez avoir 10% d'Edge alors que vous n'en avez que 2%, votre Stake peut être beaucoup trop important.

Et si votre Edge est en réalité négatif, Kelly calculé à partir d'une mauvaise estimation peut accélérer les pertes au lieu de protéger la bankroll.