Neste artigo, você aprenderá sobre a reinterpretação dos diferentes planos de apostas com a fórmula de Kelly, além de explicações sobre o impacto na perda e/ou ganho de unidades, a assimetria dos retornos e a simetria da probabilidade.

Há quatro anos, foi publicado um artigo na revista "Economics of Sport" sobre como um apostador lucrativo deve apostar em condições em que as estimativas das verdadeiras probabilidades de pagamento não estão disponíveis.

É discutível se um apostador que deseja ter uma lucratividade consistente a longo prazo deve mesmo estar ativo em tais condições, mas acontece que muitos apostadores esportivos reconhecem que não conseguem estimá-las com precisão.

No entanto, seu estudo é interessante porque mostra como diferentes planos de apostas podem ser reinterpretados como variantes do critério de Kelly. Neste artigo, quero resumir seus esforços e examinar se o que eles descobriram pode ser melhorado.

Reinterpretação de diferentes planos de apostas com a fórmula de Kelly

Talvez não exista um tópico mais popular no mundo da gestão do dinheiro das apostas esportivas do que o uso do critério de Kelly como método de apostas. Em particular, mostrei que, para uma aposta Kelly simples, em que apenas uma aposta de cada vez é feita antes da liquidação, a estratégia é capaz de levar em conta os riscos associados ao fato de não saber exatamente sua vantagem em uma aposta de cada vez, desde que você seja preciso em média.

Perda por unidade

A primeira dessas estratégias é a perda por unidade, ou método de apostas niveladas, em que o apostador arrisca a mesma aposta em cada aposta, independentemente das probabilidades. Quanto mais altas forem as probabilidades, maior será o impacto no bankroll se a aposta ganhar, mas menor será a probabilidade de a aposta ganhar.

Podemos pensar nas apostas com perda unitária como um plano Kelly em que o valor ou retorno esperado é linearmente proporcional às probabilidades. Considerando que o tamanho da aposta Kelly é dado por EV / probabilidades - 1 (em que EV é o valor esperado, sendo que qualquer valor maior que 0 é considerado lucrativo), um plano de perda unitária implica que essa proporção permanece constante.

Por exemplo, suponha que o EV seja 10% (0,1) e as probabilidades sejam 2,00. A aposta seria de 0,1. Se as probabilidades aumentarem para 4,00, isso significa que o EV deve aumentar para 30% (0,3) para que a aposta permaneça em 0,1. Probabilidades de 101,00 implicariam em um VE de 10 ou 1.000%, o que parece um pouco irrealista. Isso implicaria em chances reais de apenas 9,18. Certamente, nenhuma casa de apostas cometeria um erro tão grave.

De fato, no limite em que as probabilidades tendem ao infinito, as probabilidades reais tenderiam a um valor máximo dado por 1 / aposta, nesse caso, 10. Uma das principais críticas feitas ao staking de perda unitária é que ele coloca um risco muito grande em apostas de longo prazo com baixa probabilidade de vitória. Para os defensores do critério de Kelly, isso só faria sentido se o EV de fato aumentasse proporcionalmente às probabilidades, o que, como podemos ver, não é crível.

Ganho unitário

O segundo plano de gerenciamento de dinheiro geralmente usado pelos apostadores é a aposta unitária. Nesse caso, a aposta é tal que o apostador tem como objetivo obter o mesmo lucro, independentemente das probabilidades. Se a meta de lucro for 100 euros, as probabilidades de 2,00 exigirão uma aposta de 100 euros, enquanto as probabilidades de 5,00 exigirão uma aposta de 25 euros. O tamanho da aposta é proporcional ao recíproco das probabilidades - 1. Em termos de Kelly, a estratégia de ganho unitário implica que o EV é completamente não correlacionado com o critério Kelly; todos os EVs são iguais, independentemente das probabilidades.

No que diz respeito às apostas com perda unitária, há algo que não está muito certo. É possível que a vantagem de um apostador seja a mesma se as probabilidades forem 1,11 ou 111,00? As lições aprendidas com a variância sugerem que isso não é muito realista. De fato, se o seu EV para probabilidades de 111,00 for de 20% (0,2), o mesmo EV para probabilidades de 1,11 implicaria que as probabilidades verdadeiras são menores que 1, o que é um absurdo total. Algo não pode ter uma probabilidade de resultado maior que 100%.

Impacto da unidade

Os autores propuseram um plano de staking alternativo: impacto unitário, com base na suposição de que esse plano se encaixa melhor no método de staking Kelly. O método de impacto unitário mantém constante a diferença de bankroll entre ganhar e perder, independentemente do tamanho ou da brevidade das probabilidades.

A aposta de impacto unitário é proporcional ao recíproco das probabilidades, ao contrário da vitória unitária, que é o recíproco das probabilidades - 1. Portanto, se a aposta for de 100 euros para probabilidades de 2,00, a aposta de impacto unitário para probabilidades de 5,00 será de 40 euros. Em cada caso, a diferença entre o ganho e a perda é de 200 euros (+100 euros/100 euros no primeiro caso e +160 euros/40 euros no segundo).

Para apostas de impacto unitário, o EV é proporcional às probabilidades - 1 / probabilidades. Isso significa que o VE aumenta à medida que as probabilidades aumentam, mas em uma taxa que diminui em direção a um limite, já que essa proporção tende rapidamente a 1. Por exemplo, se EV = 0,1 para uma classificação de 2,00, o limite de EV será 0,2. Embora esse cenário não seja tão extremo quanto o das apostas de vitória unitária, em que o VE permanece inalterado, ele parece novamente subestimar a possibilidade de VEs mais altos para probabilidades mais longas.

Os informantes bem-sucedidos de corridas de cavalos normalmente têm retornos bem acima do dobro daqueles que se concentram no mercado de handicap asiático ou de spread de pontos, embora isso não signifique necessariamente que eles sejam mais habilidosos (ou mais sortudos); eles simplesmente têm mais variação a seu favor.

Seguindo o exemplo do autor, a tabela abaixo ilustra como o EV varia com as probabilidades para os três planos de apostas diferentes, supondo EV = 3% para probabilidades = 2,00 para cada um.

Conforme discutido acima, os esquemas de apostas "perda unitária" e "ganho unitário" parecem implicar em relações irreais entre as probabilidades e o EV.

Os autores analisaram o banco de dados de seleções de apostas de um site de previsões bem conhecido e acreditam ter confirmado que a relação entre o EV e as probabilidades implícitas na aposta de impacto unitário reflete melhor os retornos observados e esperados dos informantes (sendo que o último se baseia nos preços de fechamento). Ainda não estou convencido. Repito, o método de impacto unitário só produzirá um VE que seja, no máximo, o dobro do VE para probabilidades = 2,00. Existe uma alternativa melhor?

Revisitando a distribuição T

Há três anos, apresentei o uso da distribuição T para avaliar prognosticadores e distinguir sorte de habilidade. Semelhante à distribuição normal (e usada em seu lugar quando conhecemos apenas o desvio padrão da amostra e não o da população), ela permite determinar o grau de improbabilidade de uma determinada amostra, supondo que a média da população seja conhecida.

Usei muito a distribuição T em meu trabalho para ajudar os apostadores a calcular a probabilidade de seus resultados serem devidos ao acaso, supondo que eles não tenham nenhuma habilidade. Quanto menor a probabilidade, mais subjetivamente confiante você pode estar de que o acaso não tem nada a ver com os lucros de suas apostas.

No centro desse teste está a estatística t ou pontuação t, da qual as probabilidades podem ser derivadas. Mostrei que, para uma aposta com perda unitária e quando as probabilidades de seu registro não variam muito, essa estatística pode ser aproximada com a seguinte fórmula.

em que n é o número de apostas, o é a média das probabilidades e r é o retorno sobre o investimento ou retorno + 1.

Assim como a pontuação z, com a qual os handicappers podem estar mais familiarizados, ela é essencialmente uma medida do número de desvios padrão que seu retorno se desvia de uma média esperada de zero, se você apostar sem habilidade e com probabilidades justas. Uma pontuação t de 2, por exemplo, significa que um retorno melhor do que o seu registro é esperado apenas 2,5% das vezes, supondo que você não tenha habilidades. O escore t é, portanto, um tipo de medida de probabilidade. Quanto maior a pontuação t, menos provável é a observação. Vamos usá-lo para determinar a probabilidade de EVs diferentes (supondo que não haja habilidade) como uma função das probabilidades que estamos apostando.

Retornos assimétricos

Suponha que você aposte em um time com 80% de chance de vencer, com probabilidades de 1,25. Agora vamos supor que a casa de apostas pense erroneamente que a probabilidade de vitória é de 75%. Ele está fazendo uma promoção e não tem margem. Suas chances são de 1,333. Seu EV é, portanto, 6,667% (1,333/1,25 - 1 ou 0,80/0,75 - 1).

Agora, considere um segundo cenário: a chance real é de 20% (chances justas de 5,00), mas a casa de apostas considera que é de 15% (chances publicadas de 6,667). Dessa vez, seu EV é de 33,33% (6,667/5,00 - 1 ou 0,20/0,15 - 1). A diferença no ganho percentual esperado entre sua estimativa e a da casa de apostas é a mesma, mas o EV é 5 vezes maior. Parece que, em termos de EV, quanto maior a probabilidade, maior a penalidade por erros equivalentes. Mas qual é a probabilidade desses erros?

A simetria da probabilidade

Vamos reescrever a fórmula da pontuação t acima (supondo que todas as nossas apostas tenham as mesmas probabilidades, o). Como sabemos que r = q / p, em que p é a probabilidade implícita das probabilidades da casa de apostas (ou seja, 1/o) e q é sua probabilidade estimada (que é "verdadeira" se seu modelo de previsão for preciso), podemos mostrar que :

Vamos supor que n, nosso número de apostas, seja igual a 100. Para q = 0,8 e p = 0,75, t = 1,25. Da mesma forma, para q = 0,2 e p = 0,15, t = 1,25 também. Supondo que a casa de apostas, e não nosso modelo, esteja realmente correta, essa pontuação t corresponderia a uma probabilidade de resultado de 10,7% (usando a função =TDIST do Excel).

Em 100 apostas, deveríamos obter um retorno maior que 6,667% para probabilidades de 1,333, ou maior que 33,33% para probabilidades de 6,667, ou 10,7% das vezes. Os retornos mais altos em probabilidades mais altas são tão prováveis quanto os retornos mais baixos em probabilidades mais curtas, e é por isso que os tipsters de corrida têm a ilusão de que são melhores do que os handicappers, ou piores se perderem.

Tentei ilustrar essa simetria de probabilidades usando as tabelas a seguir. Os valores são extremos simplesmente para ilustrar o ponto; obviamente, nenhum apostador conseguirá fazer isso bem ou mal na maioria dos cenários.

A primeira mostra a assimetria do EV para diferentes pares p, q. A segunda mostra a simetria dos escores t. O segundo mostra a simetria da pontuação t. Mostrei os escores t absolutos (removendo o sinal negativo para EVs negativos quando q < p) para maior clareza. Não apenas um par p, q de 0,3/0,7 é tão provável quanto um par 0,7/0,3, mas também pares como 0,7/0,5 e 0,3/0,1, 0,8/0,7 e 0,2/0,1 pelos motivos descritos acima.

Uma nova função de probabilidade EV

Para uma determinada probabilidade e EV, há uma probabilidade t (que dobra quando o número de apostas é multiplicado por 4). Podemos reorganizar a fórmula da pontuação t para expressá-la em termos de r. Isso leva a uma quadrática horrível com uma solução ainda mais horrível.

Essa é uma solução muito mais desagradável do que odds - 1 / odds, mas vamos representá-la de qualquer forma para o cenário em que EV = 0,03 e odds = 2,00. Esse gráfico é mostrado abaixo, juntamente com as funções EV anteriores para perda unitária, ganho unitário e impacto unitário da aposta.

Embora a função possa ser difícil de escrever, ela é mais intuitiva porque interpreta os retornos esperados em termos de probabilidade estatística. Para apostas de impacto unitário, o EV nunca pode ser superior a 6% quando é de 3% para probabilidades de 2,00. Porém, com minha função, ele pode crescer indefinidamente, embora não tão rápido de forma irreal quanto nas apostas de perda unitária, mas de acordo com o que a variância estatística prevê. Para probabilidades de 10, é de 9,4%, para probabilidades de 50, é de 23,3% e para probabilidades de 1.000, é de 150%.

Uma crítica óbvia é que essa função, baseada na pontuação T, pressupõe que o apostador não tem habilidade. Ela simplesmente expressa a probabilidade de as coisas acontecerem, supondo que não haja habilidade. Mas essa é uma interpretação errônea; mesmo na presença de habilidade, as mesmas leis estatísticas associadas à variância se aplicam.

A posição da curva laranja mudaria, mas a forma permaneceria a mesma. Ilustrei abaixo algumas trajetórias possíveis para apostadores com diferentes graus de sorte ou habilidade, dependendo do termo usado. A curva inicial para o apostador com um EV de 3% em probabilidades de 2,00 é sempre mostrada em laranja.

Outra crítica pode ser o fato de também presumirmos que qualquer habilidade é independente das probabilidades, ou seja, que ela é a mesma independentemente das probabilidades. Considerando as ineficiências do mercado, como a tendência de longo prazo, essa suposição pode não ser apropriada.

Testando a função

Podemos testar a validade dessa nova função EV-? Meu sistema de apostas Wisdom of the Crowd, com o qual aqueles que me seguem regularmente no Twitter e no Football-Data estarão familiarizados, usa as probabilidades mais eficientes da Pinnacle para estimar o EV disponível nas probabilidades de outras casas de apostas.

Usando uma amostra de dados de probabilidades de jogos da liga doméstica europeia que remonta à temporada 2012/13, encontrei 55.237 ocasiões em que um EV lucrativo (>0) estava disponível. A média foi de 2,20% (para registro, o desempenho real das apostas com perda unitária foi de 1,77%, bem dentro das margens de erro estatísticas do modelo), com probabilidades médias de 3,30. Com esses números, podemos usar minha fórmula de solução quadrática para construir uma curva de função EV como as apresentadas acima. Essa é a curva laranja abaixo.

Compare essa curva com os EVs do modelo real calculados com base nas expectativas de pagamento de 1% (mostradas como probabilidades no gráfico) e com a curva da função EV- prevista pela aposta de impacto unitário. Embora a correspondência não seja perfeita, a função EV t-score provavelmente é um melhor indicador dos EVs aproximados com base nas probabilidades de apostas.

Um raciocínio

Os mais observadores podem estar pensando: qual é o sentido de usar uma função EV para prever o EV para diferentes probabilidades quando seu modelo Wisdom of the Crowd faz isso explicitamente para cada aposta? De fato, esse é um julgamento válido e, portanto, grande parte deste artigo poderia ser considerada bastante teórica.

No entanto, mesmo modelos precisos (em média) têm incerteza epistêmica para cada aposta. Além disso, a incerteza aleatória (ou inerente) torna praticamente impossível avaliar as verdadeiras probabilidades de payoff.

O objetivo deste exercício, assim como foi para os autores, era, portanto, ilustrar como você pode tentar aproximar seu EV quando reconhecer essas incertezas quantitativas, quando o modelo de previsão não estimar explicitamente as probabilidades de vitória ou quando o método de previsão for mais qualitativo e baseado na intuição em vez de na análise de dados. Se você conhecer suas probabilidades, esse método permitirá que você estime seu EV; se você conhecer seu EV, poderá determinar a aposta Kelly que deverá usar.

Essa metodologia de pontuação t pode ser complicada, mas seus resultados são derivados de um raciocínio mais intuitivo da relação entre a probabilidade de vitória, o valor esperado e a probabilidade de resultado e, por extensão, como os retornos reais podem variar com as probabilidades de apostas. Para os seguidores de Kelly, acho que esse método é mais eficaz do que a aposta de impacto unitário e, certamente, mais eficaz do que a perda unitária e o ganho unitário.